[미분적분학] 기본 미분 공식 (합미분, 곱미분, 몫미분), 연쇄법칙, 편미분

 

 

기본 미분 공식

아래의 조건이 만족할 때, 사용할 수 있는 기본 미분 공식은 다음과 같다.

 

두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분 가능한 함수이고, $\alpha ,\beta$가 상수이면,

• $[\alpha f(x)\pm \beta g(x){]}^{\prime }=\alpha f^{\prime }(x)\pm \beta g^{\prime }(x)$ (합미분)
• $[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ (곱미분)
• $[\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$ (몫미분)
• 상수함수 $f(x)=k$ 면, $f^{\prime }(x)=0$ 이다.
• $f(x)=x^n$ (n이 실수)이면, $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$이다.

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연쇄법칙(Chain Rule)

두 함수 $y=f(u),$  $u=g(x)$가 미분 가능한 함수일 때,

합성함수 $y=f(g(x))$ 의 도함수는 $[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$ 이다. 

($\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$)

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편미분

이변수 함수 $z=f(x,y)$의 편도함수 $f_x$ 와  $f_y$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $f_x(x,y)=f_x=\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}$
• $f_y(x,y)=f_y=\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}$

위의 정의를 보면 뭔가 매우 복잡해보이지만, 이변수 함수 $z=f(x,y)$ 의 편도함수를 구하는 방법은 다음과 같이 생각보다 간단하다.

• $f_x$ 는 주어진 함수에서 $y$ 를 상수로 취급하여, 주어진 함수를 $x$ 에 대한 일변수 함수로 간주한 뒤, $x$ 에 대해 미분한다.
• $f_y$ 는 주어진 함수에서 $x$ 를 상수로 취급하여, 주어진 함수를 $y$ 에 대한 일변수 함수로 간주한 뒤, $y$ 에 대해 미분한다.