기본 미분 공식
아래의 조건이 만족할 때, 사용할 수 있는 기본 미분 공식은 다음과 같다.
두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 미분 가능한 함수이고, $ \alpha , \beta $가 상수이면,
- $ [\alpha f(x)\pm \beta g(x)]' = \alpha f'(x) \pm \beta g'(x) $ (합미분)
- $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ (곱미분)
- $ [\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $ (몫미분)
- 상수함수 $ f(x) = k $ 면, $ f'(x) = 0 $ 이다.
- $ f(x) = x^n $ (n이 실수)이면, $ f'(x) = nx^{n-1} $이다.
연쇄법칙(Chain Rule)
두 함수 $ y = f(u), $ $ u = g(x) $가 미분 가능한 함수일 때,
합성함수 $ y = f(g(x)) $ 의 도함수는 $ [f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x) $ 이다.
($ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} $)
편미분
이변수 함수 $ z = f(x,y) $의 편도함수 $ f_{x} $ 와 $ f_{y} $ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.
- $ f_{x}(x,y) = f_{x} = \frac{\partial }{\partial x}f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} $
- $ f_{y}(x,y) = f_{y} = \frac{\partial }{\partial y}f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h} $
위의 정의를 보면 뭔가 매우 복잡해보이지만, 이변수 함수 $ z = f(x,y) $ 의 편도함수를 구하는 방법은 다음과 같이 생각보다 간단하다.
- $ f_{x} $ 는 주어진 함수에서 $y$ 를 상수로 취급하여, 주어진 함수를 $x$ 에 대한 일변수 함수로 간주한 뒤, $x$ 에 대해 미분한다.
- $ f_{y} $ 는 주어진 함수에서 $x$ 를 상수로 취급하여, 주어진 함수를 $y$ 에 대한 일변수 함수로 간주한 뒤, $y$ 에 대해 미분한다.